DisCollection.ru

Авторефераты и темы диссертаций

Поступления 11.10.2006

Материалы

загрузка...

Математические модели многокомпонентных временных рядов в системах газораспределения

Рейтер Андрей Алексеевич, 11.10.2006

 

Рис. 4. Обобщенная диаграмма классов

На рис. 4 изображена обобщенная диаграмма классов созданного комплекса в UML-нотации. Для разработки выбрана двухуровневая концепция документ-вид. В классе документа Document агрегирован объект класса AbstractAnalysis, наследниками которого являются класс SsaAnalysis, реализующий разработанный автором метод; WaveletAnalysis, представляющий вейвлет-анализ, и FurieAnalysis, инкапсулирующий Фурье-преобразование. Структура классов является реализацией паттерна проектирования «Стратегия» (Strategy), позволяющего добавлять, модифицировать алгоритмы, не изменяя классы документа и вида, что удобно, например, для совместной разработки программного обеспечения группой разработчиков.

Одномерные данные представляются классом MVector, а многомерные – классом Matrix2D, реализующим алгоритмы преобразования матрицы к трехдиагональной форме, нахождение собственных чисел и векторов, вычисление обратной матрицы, а также основные матричные операции.

Класс IOSystem предназначен для работы с файловой системой – загрузкой и сохранением данных, PlotSystem – для визуализации результатов на дисплее или печатающем устройстве.

В четвертой главе представлены построенные модели процессов газораспределения. Разработанный метод применен для анализа СВР газопотребления г. Саратова и числа обращений в аварийную газовую службу крупного населенного пункта.

Процессы, представляемые этими рядами, априори могут содержать следующие компоненты: тренд, сезонная и периодическая компоненты, стационарный CВР. Параметры реализации исходного СВР: шаг дискретности – 1 сутки, начало отсчета – 1 января 2001 года, длительность наблюдения – 1095 суток (3 года). Данные получены Саратовской газовой компанией и содержат суммарные показатели расхода газа по газораспределительным станциям (ГРС) ГРС-2, ГРС-Пристанное, ГРС-1 за вычетом крупных энергопроизводящих потребителей. На рис. 5 представлен график газопотребления г. Саратова после удаления сезонной гармонической компоненты с периодом 365 суток, ее параметры найдены методом наименьших квадратов.

Рис. 5. Объем газопотребления г. Саратова за 2001-2003 гг.

после удаления основной гармоники сезонности.

Начало отсчета по оси абсцисс – 1 января 2001 г.

Предлагаемая модель газопотребления состоит из аддитивных компонент:

x[n] = b[n] + s[n] + c[n] + e[n],

где b[n] – линейный тренд; s[n], c[n] – сезонная и периодическая компоненты; e[n] – стационарный СВР. Анализ СВР с помощью разработанного метода позволил выявить следующие компоненты:

медленно изменяющийся гладкий тренд;

периодические компоненты с периодами примерно 180 и 120 суток;

стационарный случайный временной ряд.

Тренд соответствует тому, что газопотребление г. Саратова за наблюдаемые три года существенно не изменилось. Периодическая компонента с периодом 365 суток отражает сезонные изменения газопотребления. Так, максимумы этой компоненты приходятся на зимнее время года, а минимумы – на летнее, что объясняется возрастающим потреблением газа в более холодное время

Зависимость потребления газа от температуры воздуха не является линейной. В холодное время года при понижении температуры практически пропорционально увеличивается расход газа, что обусловлено расходами на отопление. При повышении температуры выше определенного уровня дополнительный расход газа на отопительные нужды не используется и при дальнейшем росте температуры существенно измениться не может, поскольку в значительной степени вызван технологическими нуждами. Таким образом, сезонная зависимость газопотребления является не чистой гармоникой и должна описываться суммой гармоник с периодами, кратными периоду сезонности. Анализ суммы компонент с периодами 365, 182,5 и 121,7 суток показывает, что эти компоненты относятся к сезонной составляющей и обусловлены более ровным режимом потребления в летние месяцы.

Тренд определен как оценка среднего СВР; параметры сезонных и периодических компонент, а также параметры АР-модели случайной составляющей оценены с помощью метода наименьших квадратов. Получена следующая модель газопотребления г. Саратова:

Здесь ?[n] – нормальный белый шум с нулевым средним и среднеквадратическим отклонением ?? = 257, значения коэффициентов авторегрессии приведены в табл. 1.

Оценки параметров АР-модели Таблица 1

параметров С.к.о. оценки Уровень

значимости Нижняя граница 95%

доверит. интервала Верхняя граница 95%

доверит. интервала

a1 –0,74 0,03 0,000 –0,80 –0,68

a2 –0,11 0,04 0,004 –0,18 –0,03

a3 –0,09 0,03 0,002 –0,15 –0,03

Адекватность построенной модели подтверждается с помощью критерия Фишера, значение полученной статистики F = 7,13, больше критического значения Fкрит (11, 24) = 3,26 при уровне значимости ? = 0,01.

Анализируемый СВР числа обращений в аварийную газовую службу одного крупного населенного пункта представлен на рис. 6,а. Шаг дискретности – 1 сутки, длина наблюдаемой реализации – 1095 суток. Первое значение временного ряда соответствует 1 января 2002 года.

Рис. 6. Временной ряд числа обращений в аварийную газовую службу:

а – исходный временной ряд; б – временной ряд после стабилизации дисперсии. Начало отсчета по оси абсцисс соответствует 1 января 2002

Исследованы описательные статистики ВР, по которым установлено, что ряд является кососимметричным и по коэффициенту эксцесса резко отличается от нормального. На рис. 8,а представлена гистограмма исходного временного

Для выбора вида преобразования процесса при приведении к нормальному распределению применена процедура стабилизации дисперсии. Графики зависимости среднеквадратического логарифма среднеквадратических отклонений от различных степеней среднего значения представлены на рис.

Рис. 7. Графики зависимости: а – с.к.о от квадрата; б – с.к.о. от куба среднего; в – логарифм с.к.о. от среднего; г – логарифм с.к.о. от квадрата среднего

Анализ зависимостей показал, что наилучший результат стабилизации дисперсии обеспечивает преобразование вида f(y) = –a?exp(–by) + C. Оценки коэффициентов равны: a = 369, b = 0,045, C = 200. Гипотеза о нормальном распределении преобразованного процесса по хи-квадрат критерию не отвергается на уровне значимости ? = 0,05.

Рис. 8. Гистограмма временного ряда обращений в аварийную газовую службу: а – исходный временной ряд, б – временной ряд после стабилизации дисперсии

Гистограмма СВР после стабилизации дисперсии с помощью преобразования представлена на рис. 8,б. На рис. 6,б показан график СВР после преобразования и центрирования. Разброс значений СВР стал более симметричным.

При использовании разработанной модификации метода сингулярного разложения выявлено 3 периодические компоненты: с периодом около 365 суток, 180 суток и 120 суток. Полученные результаты имеют следующую физическую интерпретацию.

1. Неоднородный во времени разброс значений объясняется превышением концентрации в газе одоранта, запах которого воспринимается как запах газа. Превышение концентрации одоранта приводит к тому, что люди начинают интенсивнее ощущать «запах газа» и, соответственно, резко увеличивается число обращений в аварийную газовую службу.

2. Периодическая компонента с периодом около 365 суток носит сезонный характер. В более холодные времена года увеличивается не только объем газопотребления, но и количество используемого газового оборудования. Соответственно увеличивается и число технических инцидентов, происходящих с газовым оборудованием.