DisCollection.ru

Авторефераты и темы диссертаций


Математические задачи нелинейной теории переноса. газокинетическое уравнение

Макин Руслан Сергеевич, 08.01.2009

 

Методы исследования. Для исследования использовался аппарат функционального анализа (теория полугрупп операторов, теория операторов, инвариантных относительно положительных конусов в банаховых пространствах, теория знакорегулярных (квазизнакорегулярных) операторов, спектральная теория самосопряженных и несамосопряженных операторов), топологические методы, аппарат теории нелинейных динамических систем (гиперболические множества, инвариантные притягивающие множества (аттракторы, квазиаттракторы) и инвариантные инерциальные многообразия), теория устойчивости и теория бифуркаций; использованы также результаты линейной теории переноса. В основе развитого подхода лежат принципы линеаризации и локализации, а также основные положения синергетики.

Научная новизна и практическая ценность работы:

- сформулированы условия существования глобального (сильного) решения и условия существования локального решения для исходной нелинейной распределенной системы уравнений в ограниченных средах, где перенос описывается многоскоростным газокинетическим (интегродифференциальным) уравнением или его многогрупповым диффузионным (Р1-) приближением; доказаны соответствующие теоремы существования (несуществования) глобальных решений в выбранном функциональном (фазовом) пространстве;

- исследованы свойства операторов и решений исходной нелинейной задачи, включая свойство положительности решений в некоторых банаховых пространствах с положительными конусами;

- сформулированы и доказаны теоремы существования и свойства решений нелинейной стационарной задачи, отвечающей исходной нелинейной задаче, включая свойства положительности и условия существования ведущего собственного значения;

- доказаны теоремы полноты собственных (корневых) векторов в общем случае; указаны условия существования базиса Рисса;

- установлено существование счетного множества простых вещественных собственных значений и отвечающих им собственных элементов из некоторых множеств конечномерных положительных конусов (конусов конечного ранга) в однородной среде;

- указана оценка спектрального зазора (расстояния между ведущим собственным значением и остальным спектром) и установлено, в каких случаях базисные функции являются чебышевскими (Т-системами), что позволяет применять чебышевские методы ускорения сходимости;

- показано существование счетного множества точек бифуркации в случае однородной среды; рассмотрены вопросы о количестве, характере и устойчивости решений на некотором инвариантном множестве;

- проведен анализ спектральных свойств линеаризованной задачи и установлен принцип линеаризации и спектр линеаризации (по В.И. Юдовичу) для исходной нелинейной задачи; установлены свойства гладкости нелинейной диссипативной полугруппы, разрешающей исходную задачу;

- сформулированы и доказаны теоремы о структуре спектра (точечного, непрерывного, существенного) операторного пучка (обобщенного пучка типа М.В. Келдыша), отвечающего линеаризованной задаче, где спектральный параметр нелинейным (дробно-рациональным и/или полиномиальным) образом входит в пучок; найдена асимптотика спектра задачи;

- доказана полнота корневых векторов (кратная полнота по М.В. Келдышу) и условия сходимости по ним в некотором функциональном пространстве; установлены условия существования (u0-положительность) ведущего собственного значения и отвечающего ему (единственного)элемента из положительного конуса;

- существенно уточнены спектральные свойства и асимптотические оценки в одномерной геометрии:

Минимальность, полнота и базисность системы корневых векторов;

Принадлежность операторного пучка классу вполне положительных операторов;

Существование счетного подмножества простых вещественных собственных значений и отвечающего ему множества собственных элементов, обладающих осцилляционными свойствами (ряды Маркова);

- установлены условия существования (обобщенный метод Мельникова) гомоклинической (гетероклинической) точки трансверсального пересечения (локальных) устойчивого и неустойчивого инвариантных многообразий для некоторого семейства абстрактных эволюционных уравнений (обобщенная теорема Биркгофа - Смейла); эти условия проверены для исходной нелинейной задачи; сформулировано утверждение: трансверсальная гомоклиническая (гетероклиническая) траектория порождает хаос («динамический реакторный хаос») в бесконечномерном фазовом пространстве;

- доказано существование инвариантного гиперболического множества, топологически эквивалентного подсдвигу конечного типа (канторова множества, топологически эквивалентного подкове Смейла);

- проведен анализ экспериментально наблюдавшегося перехода к «реакторному хаосу» через последовательность бифуркаций удвоения периода (универсальность Фейгенбаума) как общего свойства (модельных) нелинейных систем, приближающихся к гомоклиническому касанию устойчивого и неустойчивого многообразий некоторой периодической орбиты (неподвижной

- установлены условия существования инвариантных экспоненциально притягивающих конечномерных многообразий – инерциальных многообразий для исходной нелинейной задачи с компактной (квазикомпактной) полугруппой и нормальным гиперболическим множеством;

- проведен анализ основных свойств инерциальных многообразий; сформулирован принцип сведения, проверено спектральное условие (условие конуса) и установлено существование k-мерного инерциального многообразия для исходной нелинейной задачи (гипотеза Э. Хопфа); сформулирован нелинейный динамический метод Галеркина;

- развитый подход распространен на семейства модельных задач, где перенос описывается в многогрупповом диффузионном (Р1-) приближении; соответствующие результаты получены для вышеуказанного семейства моделей; рассмотрены возможности применения вышеизложенного подхода для более сложных нелинейных модельных задач.

Проведенные в диссертационной работе исследования, предложенные подходы и полученные результаты позволили развить и обосновать строгую математическую теорию нелинейных уравнений переноса. Тем самым осуществлен важный этап в развитии нового направления теории переноса – нелинейной теории переноса. Кроме того, изложенные в работе методы и подходы представляют самостоятельный интерес для общей теории нелинейных динамических систем и вносят определенный вклад в общие представления синергетики. Материал диссертационной работы, будучи в первую очередь теоретическим исследованием, является основой для формулировки конкретных вычислительных алгоритмов и решения актуальных практических задач в соответствующих областях физики и техники. С другой стороны, полученные в работе результаты и поставленные вопросы могут являться основой для последующих исследований.

На защиту выносятся:

Качественный анализ свойств решений исходной нелинейной задачи, включая положительность решений в пространствах с положительными конусами и условия продолжимости (непродолжимости) решений. Доказательство условий существования по крайней мере одного стационарного положительного нетривиального решения нелинейной стационарной задачи, отвечающей исходной нелинейной задаче.

Анализ полноты корневых векторов стационарной (условно-критической) задачи; базисность системы корневых векторов и условия сходимости разложений; некоторые тонкие свойства спектра в случае одномерной геометрии – знакорегулярность, существование счетного множества простых вещественных собственных значений; конструктивная оценка спектрального зазора, обоснование чебышевских методов ускорения сходимости вычислительных алгоритмов.

Обоснование метода линеаризации применительно к задаче устойчивости стационарных (периодических) решений исходной нелинейной задачи. Исследование структуры спектра линеаризованной задачи; метод исследования операторного пучка с нелинейным вхождением спектрального параметра; теоремы полноты (кратной полноты по М.В. Келдышу) корневых векторов и условий сходимости; условия существования в спектре ведущего (крайне правого) собственного значения и оценка спектрального зазора. Спектральные свойства и асимптотические оценки для собственных значений и элементов в случае однородной среды.

Условия существования гомоклинической точки трансверсального пересечения (локальных) устойчивого и неустойчивого инвариантных многообразий (обобщенная теорема Смейла – Биркгофа); существование инвариантного гиперболического множества, топологически эквивалентного подсдвигу конечного типа для исходной нелинейной задачи. Доказательство существования инвариантных экспоненциально притягивающих конечномерных многообразий – инерциальных многообразий; свойства инерциальных многообразий: липшицева непрерывность, экспоненциальная дихотомия, устойчивость и неустойчивость компактных инвариантных множеств.

Результаты по п.п. (1-4) для модельной нелинейной задачи, где перенос описывается в многогрупповом диффузионном (Р1-) приближении.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы отражены в 42 публикациях.

Результаты исследований, изложенные в диссертации, по мере их получения докладывались на семинарах в следующих организациях: «ГНЦ РФ – Научно-исследовательский институт атомных реакторов»; ГНЦ РФ – Физико-энергетический институт им. академика А.И. Лейпунского; Московском инженерно-физическом институте (кафедра прикладной математики, кафедра «Ядерные реакторы и энергетические установки»); Всероссийском научно-исследовательском институте по эксплуатации атомных электростанций; Научно-исследовательском и конструкторском институте энерготехники им. академика Н.А.Доллежаля; Научно-исследовательском технологическом институте им. академика А.П.Александрова; Институте прикладной математики им. академика М.В. Келдыша; Санкт-Петербургском техническом университете; Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН; Ульяновском государственном университете; Ульяновском государственном техническом университете; Новосибирском государственном университете; Институте математики СО РАН; Факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих научных

XXXIV ежегодная научно-техническая конференция МИФИ. Москва, 1988 г.

Третья Международная научная конференция Ядерного Общества России. С.-Петербург, Россия, 1992 г.

7-ой Европейский Симпозиум по моделированию (ESS’95), Эрланген – Нюрнберг, Германия, 1995 г.

12-ая Международная конференция по моделированию (SI’95), Феникс, Аризона, США, 1995 г.

Международный семинар «Days on Diffraction», С.-Петербург, 2005 -2008

10-е Харитоновские чтения.г. Саров, 2008 г.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 8 глав, 29 параграфов, заключения и 3 приложений, а также содержит 12 рисунков и 498 библиографических ссылок. Общий объем диссертации 372 страницы.

2. основное содержание работы